等差数列求和公式推导

等差数列是指每一项与前一项的差是常数的数列，常见的形式为：

[ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n ]

其中，(a_1) 是首项，(d) 是公差，(n) 是项数。我们要推导的等差数列求和公式是：

[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} ]

推导过程

假设我们有一个等差数列的前 (n) 项，其项数为 (n)，首项为 (a_1)，末项为 (a_n)，公差为 (d)。

1. 逆序相加

首先，将等差数列的前 (n) 项从后往前加：

[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n ]

逆序相加后，得到：

[ S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_1 ]

2. 两式相加

将这两个式子相加：

[ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \dots ]

每一对括号中的和都是常数 (a_1 + a_n)。由于每一项的和都是相同的，我们有 (n) 对这样的和，所以：

[ 2S_n = n(a_1 + a_n) ]

3. 得出求和公式

将上式两边除以 2，得到等差数列求和公式：

[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} ]

特殊情况

• 首项为 (a_1)，末项为 (a_n) 已知：直接使用公式 (S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}) 进行计算。

• 已知首项和公差：如果已知首项 (a_1) 和公差 (d)，可以通过公式 (a_n = a_1 + (n-1)d) 来计算末项 (a_n)，然后代入求和公式。

例题

假设等差数列的首项为 3，公差为 2，求前 5 项的和。

1. 首项 (a_1 = 3)
2. 公差 (d = 2)
3. 项数 (n = 5)

首先，计算末项 (a_5)：

[ a_5 = a_1 + (n-1)d = 3 + (5-1) \times 2 = 3 + 8 = 11 ]

然后，代入求和公式：

[ S_5 = \frac{5(3 + 11)}{2} = \frac{5 \times 14}{2} = 35 ]

因此，前 5 项的和为 35。

总结

通过逆序相加法，我们推导出了等差数列求和公式：

[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} ]

这个公式非常简便，可以帮助我们快速计算等差数列的和。